已知一元二次ax^2+bx+c=0方程有两实数解，两解立方和为S1，平方和为S2，和S3为，求证aS1+bS2+cS3=0

证明：设方程的两根为m,n，由题意可得
m³+n³=S1
m²+n²=S2
m+n=S3
因为m,n均为方程的根，将两根代入方程
am²+bm+c=0
an²+bn+c=0
变为
m[am²+bm+c]=0
n[an²+bn+c]=0
相加展开得
am³+an²+bm²+bn²+cm+cn=0
a(m³+n³)+b(m²+n²)+c(m+n)=0
即aS1+bS2+cS3=0

证明 设方程的两根为A1, A2 由题意可得
A1(3)+A2(3)=S1
A1(2)+A2(2)=S2
A1+A2=S3 (括号里的数表示几次方)
又因为A1 A2均为方程的根 所以两根适合方程即
aA1(2)+bA1+C=0
aA2(2)+bA2(2)+C=0
所以{ aA1(2)+bA1+C} A1 =0
{aA2(2)+bA2(2)+C} A2 =0
所以 aA1(3)+aA2(3)+bA1(2)+bA2(2)+CA1+CA2=aS1+bS2+CS3=0

2.

由已知，得
x1+x2=s3
x1^2+x2^2=s2
x1^3+x2^3=s1
即
x1+x2=s3
(x1+x2)^2-2x1x2=s2
(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2)=s1
代入一元二次方程根与系数关系的公式（韦达定理）
-b/a=s3
(-b/a)^2-2c/a=s2
(-b/a)[(-b/a)^2-2c/a-c/a]=s1
所以aS1+bS2+cS3
=(-b)(b^2-3ac)/a^2+b(b^2-2ac)/a^2+(-bc)/a
=0

过程：